在统计学中我们有时候不能知道总体的全部信息而只能知道部分样本信息(这里不讨论大数据= =.). 我们要做的是,根据样本信息来推测总体信息. 这在统计学中有一个术语叫:统计推断,而它又分为两类,即参数估计(估计理论)和假设检验(检测理论). 现在我们先不考虑统计学中的参数估计问题,让我们先来看看……

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上一节介绍的大数定理指出,对于随机实验$\overline{\mathfrak{E}}$,其密度函数PDF总是集中在它的平均值附近.但是这个密度的实际形状确没有讨论.那么,这个形状或PDF函数形式是怎么样的呢?这就是中心极限定理讨论的. 中心极限定理 连续型 随机变量$X_i$是连续且……

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接下来,我们终于摆脱各种恼人的公式推导,可以换一个新的视角重新审视概率论了:以概率论和统计学相结合的角度再来看看概率论. 首先,我们接着上节内容看看,随机变量序列有没有极限. 随机变量序列的极限的定义 我们知道数列$x_n$的极限定义为: 若对给定的$\delta \gt 0$,我们总能找到一整……

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在概率论7/8中我们介绍了两个随机变量的情况,这里我假设读者有自行推导更多随机变量(随机向量,随机序列)的能力,就随机向量这块就简单说明下. 联合分布 $$ F(x_1,\cdots,x_n)=P\lbrace X_1 \le x_1,\cdots, X_n\le x_n\rbrace $$ 密度函数 $$ f(x_1,\cdots,x_n) $$ 边缘分布 $$ F(x_1,x_3)=F(x_1,\infty,x_3,\infty) $$ 随机变量的函数 由$f(x_1,\cdots,x_n)$及已知函数$g_i(x_1,\cd……

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一个函数 假定我们现在有一个函数$z=g(x,y)$,我们用随机变量$X$和$Y$代入得到的新随机变量$Z=g(X,Y)$服从什么分布呢? 由上一章我们知道,对于二维随机变量的联合分布函数是其密度函数的二维平面积分,从这里出发,我们可以得到多维随机变量函数的分布函数 分布函数 假设$X$……

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之前我们介绍了一个随机变量的情形,现在我们把它推广到两个或多个随机变量. 联合分布 如果我们有两个随机变量$X,Y$,则集合$\lbrace X \le x\rbrace$和$\lbrace Y \le y\rbrace$都是事件,分别有概率$P\lbrace X \le x\rbrace=F_X(x) P\lbrace Y \le y\rbrace=F_Y(y)$ 在笛卡尔乘积空间,我们定义一个……

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我们已知一个函数$y=g(x)$,然后用随机变量$X$代替$x$生成的$Y$是一个新的随机变量. 分布函数 $$F_Y(y)=P\lbrace Y \le y \rbrace=P\lbrace X \in I_y \rbrace$$ 其中$I_y$表示使$g(x)\le y$成立的所有实数$x$的集合 密度函数 定理: 对一给定的$y$,为求$f_Y(y)$,我们先求解关于$x$的方程$y=g(x……

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下面的5-9节内容基本上就是课本上罗列的最多的公式了,比较 枯燥. 我只提供大致的一个框架,有必要才做一些解释. 前文介绍了随机变量的概念,它其实是对结果(元事件)的量化.一般而言,我们用大写字母表示随机变量,并且如果我们要谈到好几个随机变量,我们总是假定它们是定义在同一个实验上的. 随……

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在前一章,我们提到了独立事件,并指出了什么是独立事件,但是还是有些模糊的.独立事件之于概率论,是有其特殊意义的.书上说,由于独立性概念才使得概率论没有仅被当作测试论的一个分支,而发展成一门与之分离的学科. 我们可以看出,独立的概念有独立于概率论的一面. 那么,为什么会有独立事件? 概率……

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这一节我们讨论条件的概念 问题 我们都清楚,已知一个具有非零概率的事件$\mathscr M$,在$\mathscr M$下事件$\mathscr A$发生的概率为: $$P(\mathscr A|\mathscr M)=\frac{P(\mathscr A \mathscr M)}{P(\mathscr M)}$$ 如果我们解释成$\mathscr A$在条件$\mathscr M$下的概率等于它们同时发生的概率除以条件$\ma……

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