其实数理统计的基本概念应该建立在平稳随机过程的基础上,只不过由于统计学的重要性,我们在没有学习随机过程前就要学习统计学,所以,没办法.

平稳过程解释

假设有一个物理量是平稳过程$X(t,\zeta)$,服从某一分布$D(\theta,…)$.

平稳过程随时间空间不变,所以在时间$t_i$处产生相互独立的随机变量 $X_i$, 我们观察它,$X_i$按其概率分布塌缩成值$x_i$

  • 『总体』: 假设这种时间总共有$N$个，则产生的所有随机变量$X_i$的集体就叫总体。注意它们都是随机变量，而不是它们的值。

  • 『样本』：我们从总体里抽出$n$个，该集体叫样本。

随机向量解释

好吧，以民调为例，全体公民的意见是一个总体，每个公民的意见是随机变量$X_i$,总数$N$，得出的结果为$x_i$，结果形成一个总体分布$D(\theta,…)$。

而问卷的公民是总体的一个样本，样本要通过随机抽取，其总数为$n$。

这样就形成了一个独立同分布(i.i.d)的$n$维随机向量$X_i$。

这种解释就产生了两个问题：

  1. 为什么是随机变量而不是观察值？
  2. 为什么它们是独立同分布的？
  3. 为什么要随机抽样？

请结合平稳过程的解释进行解答。

总体参数

我们认为总体的个数足够大，可以用它来表示总体分布。于是有:

  • 总体均值=期望$\mathbb E$
  • 总体方差=方差$\sigma^2$
  • 总体标准差=标准差

样本统计量

完全由样本决定的量叫统计量，对应于总体参数。这时，统计量与总体分布是有误差的。

  • 样本均值$\bar{x_i}$
  • 样本方差$S^2$
  • 样本标准差$S$
  • 样本原点矩$a_k$
  • 样本中心矩$m_k$