上一节介绍的大数定理指出,对于随机实验$\overline{\mathfrak{E}}$,其密度函数PDF总是集中在它的平均值附近.但是这个密度的实际形状确没有讨论.那么,这个形状或PDF函数形式是怎么样的呢?这就是中心极限定理讨论的.

中心极限定理

连续型

随机变量$X_i$是连续且相互独立的,并且有$\mathbb E \lbrace X_i \rbrace=\eta_i, \sigma_{X_i}^2=\sigma_i^2$,则其构成的和$X=\sum_i X_i$的平均值和方差分别是 $$ \eta=\sum_i \eta_i, \sigma^2=\sum_i \sigma_i^2 $$ 其密度为 $$ f(x)=\prod_i f_i(x) $$ ,当$n$增大时,$f(x)$趋于一正态曲线: $$ f(x)\sim \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\eta)^2/2\sigma^2} $$

简单的证明参见de Movire-Laplace定理

格子型(离散)

类似的,对于离散型随机变量序列,$f(x)$趋于一个以正态曲线为包络的等距脉冲序列: $$ f(x)\sim \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\eta)^2/2\sigma^2}\sum_k \delta (x-bk) $$