下面我们指出概率论的公理化定义

试验

首先,我们必须明确概率论中的两个抽象概念:结果和事件.

一次试验指的是一次已经明确规定的实验.我们可以观察到单个的结果$\zeta_i$,而如果事件$\mathscr A$在逻辑上包含了某个结果, 我们就称该事件在这次试验中出现. 我们对只包含一个结果的事件称为元事件.

概率空间

概率的公理化定义:

一次实验所有可能的结果组成的事件(集合1)我们称之为概率空间 $\Omega$,也可称为必然事件,没有一个结果组成的集合我们称之为空集,也称为不可能事件.结果$\zeta_i$是概率空间中的元素,事件$\mathscr A$是概率空间的子空间(子集). 量化: 对结果随意量化$X(\zeta)$;对元事件发生的概率量化,并规定: $P(\mathscr A)\ge 0$, $P(\Omega)=1$ 事件概率的运算等价于事件(集合)运算后的概率(满足分配律)

从中我们可看到,概率的定义中并没有给出元事件的概率值是多少,在数学上它只不过是一种将集合映射到[0,1]区间的映射而已. 在宏观世界,元事件的概率对于概率论是事先给定的,等可能试验也是明确告诉你有几种可能的结果

随机变量

如上面所述,我们对元事件的结果量化成$X(\zeta)$,当结果未知时元事件就可用$X$表示,称为随机变量.我们可以认为随机变量是概率空间的轴.

最近在知乎上看到一个问答,且不讨论这个问题而是联系到概率论,我们对数字(算术)-变量(方程)-随机变量这个递进式思维有想法么?小的时候爸爸给你一个苹果,大一点爸爸告诉你他手里有个唯一确定的东西叫你猜,嗯,到现在爸爸告诉你他手里有个不确定的东西,你怎么去描述?

波莱尔域

域$\mathscr F$指明了对事件的一种划分(分类).它是对事件的一种完备集:

若$\mathscr A \in \mathscr F$,则有$\overline{\mathscr{A}} \in \mathscr F$ 若$\mathscr A,\mathscr B \in \mathscr F$,则有$\mathscr A+\mathscr B \in \mathscr F$

实验

现在我们可以明确定义一个实验$\mathfrak E$:

一概率空间$\Omega$ 一个由$\Omega$的某些子集组成的波莱尔域$\mathscr F$ 对每个事件$\mathscr A$指定一个数$P(\mathscr A)$为该事件的概率

你是否真正理解了试验和实验呢?它们的区别是什么?

从上面我们注意到,概率论中给定一个实验,它的概率空间是给定的,变的是波莱尔域,即我们求解的概率是波莱尔域下的一个元素(事件)的概率.

这些就是概率论的公理化定义了. 但是实际上,我们的逻辑不可能这么简单. 我们在日常生活中总有条件的概念和是否独立/相关的概念, 我称之为概率论的扩展. 它也是概率论之所以为概率论,而不是统计学(测试论)的一个分支. 因为它代表了一整套包含概率的逻辑推理.

  1. 集合论的相关知识请另行参考. ↩︎