我们已知一个函数$y=g(x)$,然后用随机变量$X$代替$x$生成的$Y$是一个新的随机变量.

分布函数

$$F_Y(y)=P\lbrace Y \le y \rbrace=P\lbrace X \in I_y \rbrace$$ 其中$I_y$表示使$g(x)\le y$成立的所有实数$x$的集合

密度函数

定理:

对一给定的$y$,为求$f_Y(y)$,我们先求解关于$x$的方程$y=g(x)$的全部实根$x_1,\ldots,x_n$,则

$$f_Y(y)=\frac{f_X(x_1)}{|g'(x_1)|}+\ldots+\frac{f_X(x_n)}{|g'(x_n)|}$$

其中实根$x_1,\ldots,x_n$依赖于$y$.

期望

可记为$\mathbb E\lbrace X \rbrace$或$\bar X$

$$\mathbb E\lbrace X \rbrace=\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)\mathrm d x\
\mathbb E\lbrace Y \rbrace=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f_X(x)\mathrm d x$$

条件期望可自行推导= =.

方差或离差

$$\sigma^2=\mathbb E \lbrace(X-\bar X)^2\rbrace$$

矩

$$m_k=\mathbb E\lbrace X^k\rbrace$$ 从中我们可以看出方差是二阶中心矩

一个重要的不等式–车贝晓夫(Techebycheff)不等式

在介绍车贝晓夫不等式之前,我们先介绍它的意义:

方差给出了分布$f_X(x)$集中在它的重心(期望)附近的一个估计,那么如果偏离重心达到一定程度时它的概率是否有个上界呢?这就是车贝晓夫不等式的意义.

车贝晓夫(Techebycheff)不等式:

随机变量$X$的密度函数$f_X(x)$具有任意形状及有限方差$\sigma^2$,则有

$$P\lbrace |X-\bar X|\ge k\sigma\rbrace \le \frac{1}{k^2}$$

特征函数

我们定义随机变量$X$的特征函数为它的密度函数$f_X(x)$的傅里叶变换

$$\Phi_X(\omega)=E\lbrace e^{jwx}\rbrace$$

由于特征函数一般用于极限定理,可以简化一些运算,对概念的理解没有太大意义,更多的是傅里叶变换的一些性质,这里就不详细列出了.