一个函数

假定我们现在有一个函数$z=g(x,y)$,我们用随机变量$X$和$Y$代入得到的新随机变量$Z=g(X,Y)$服从什么分布呢?

由上一章我们知道,对于二维随机变量的联合分布函数是其密度函数的二维平面积分,从这里出发,我们可以得到多维随机变量函数的分布函数

分布函数

假设$X$和$Y$的联合分布密度函数为$f_{XY}=$,则有$F_Z(z)=P\lbrace g(x,y) \le z \rbrace$,如果我们用$D_z$表示$xy$平面上符合条件的区域,则有: $$ F_Z(z)=\iint_{D_z}f_{XY}(x,y)\mathrm d x \mathrm d y $$

密度函数

我们可以通过对分布函数求微分得到$f_Z(z)$ 同时我们也可以从下面式子得到 $$ f_Z(z)\mathrm d z=P\lbrace z \le Z \le z+\mathrm d z\rbrace=\iint_{\Delta D_z}f_{XY}(x,y)\mathrm d x \mathrm d y $$

两个函数

现在我们有两个函数$z=g(x,y), w=h(x,y)$, 我们用随机变量$X$和$Y$代入得到的两个新随机变量$Z=g(X,Y),W=h(X,Y)$,如何求它们的联合分布函数呢?

联合分布函数

假设$D_{zw}$表示$xy$平面上满足条件的区域,依旧上面的理论,我们可以得到 $$ F_{ZW}(z,w)=\iint_{D_{zw}}f_{XY}(x,y)\mathrm d x \mathrm d y $$

联合密度函数

雅可比行列式$J(x,y)$ $$ \begin{vmatrix} \frac{\partial g(x,y)}{\partial x} & \frac{\partial g(x,y)}{\partial y}\
\frac{\partial h(x,y)}{\partial x} & \frac{\partial h(x,y)}{\partial y} \end{vmatrix} $$ 并有$g(x,y)=z,h(x,y)=w$的$n$个实根$(x_i,y_i)$ 则$Z,W$的联合密度函数为 $$ f_{ZW}(z,w)=\frac{f_{XY}(x_1,y_1)}{|J(x_1,y_1)|}+\cdots+\frac{f_{XY}(x_n,y_n)}{|J(x_n,y_n)|} $$

独立随机变量的函数

现在我们假定$X,Y$相互独立,则有:

随机变量$Z,W$也是独立的

属性

期望

$$ \mathbb E \lbrace g(X,Y) \rbrace=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f_{XY}(x,y)\mathrm d x \mathrm d y $$

条件期望

$$ \mathbb E \lbrace g(X,Y)|X=x \rbrace $$ 从略

矩

$$ m_{kr}=\mathbb E \lbrace X^kY^r \rbrace $$ 其中我们称$n=k+r$为这个矩的阶. 从中我们可以看到一阶矩是$X$或$Y$的期望值,二阶中心矩是它们的协方差.

协方差(二阶中心矩)

协方差用于衡量两个随机变量的总体误差.当然如果这两个随机变量是重复试验得到的同一类随机变量,则它就是方差. $$ \mu_{11}=\mathbb E \lbrace (X-\bar X)(Y-\bar Y)\rbrace=\mathbb E \lbrace XY\rbrace-\mathbb E \lbrace X\rbrace\mathbb E \lbrace Y\rbrace $$

从协方差我们可以看出,

  • 如果协方差为0,即$\mathbb E \lbrace XY\rbrace=\mathbb E \lbrace X\rbrace\mathbb E \lbrace Y\rbrace$,则两个随机变量是不相关的
  • 如果$\mathbb E \lbrace XY\rbrace=0$,则它们是正交的
  • 如果$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$,则它们是独立的

定理:

若$X,Y$独立,则它们是不相关的

定理:

若$X,Y$不相关,则它们和的方差等于它们的方差和

联合特征函数

两个随机变量的联合特征函数定义为 $$ \Phi_{XY}(\omega_1,\omega_2)=\mathbb E \lbrace e^{j(\omega_1 x+\omega_2 y}\rbrace $$

若该两个随机变量独立,则有 $$ \Phi_{XY}(\omega_1,\omega_2)=\mathbb E \lbrace e^{j(\omega_1 x}\rbrace\mathbb E \lbrace e^{j(\omega_2 y}\rbrace $$