在概率论7/8中我们介绍了两个随机变量的情况,这里我假设读者有自行推导更多随机变量(随机向量,随机序列)的能力,就随机向量这块就简单说明下.

联合分布

$$ F(x_1,\cdots,x_n)=P\lbrace X_1 \le x_1,\cdots, X_n\le x_n\rbrace $$

密度函数

$$ f(x_1,\cdots,x_n) $$

边缘分布

$$ F(x_1,x_3)=F(x_1,\infty,x_3,\infty) $$

随机变量的函数

由$f(x_1,\cdots,x_n)$及已知函数$g_i(x_1,\cdots,x_n)$来确定$k$个随机变量$Y_1,\cdots,Y_k$的联合密度:

  • 若$k\gt n$,则未知密度是奇异的,在这种情况下,人们先计算$Y_1,\cdots,Y_k$的统计
  • 若$k\lt n$,则利用辅助变量$Y_{k+1},\cdots,Y_n=X_n$把$Y$变量的数目增加到$n$,然后利用雅可比行列式进行求解

条件密度

$$ f(x_1,\cdots,x_k|x_{k+1},\cdots,x_n) $$ 其中$|$为条件线,并有如下基本法则:

  • 欲消去若干左边变量,则对其积分
  • 欲消去若干右边变量,则乘以它们关于余下的右边变量的条件密度再积分

独立随机变量

若随机变量$X_1,\cdots,X_n$独立,则有:分布和密度函数可分离,随机变量$g_i(X_i)$也独立,而且它们两两独立. 需要注意的是,如果两两独立,并不意味着它们是独立的.

平均值,方差,矩,特征函数