概率论9-随机变量序列/向量
在概率论7/8中我们介绍了两个随机变量的情况,这里我假设读者有自行推导更多随机变量(随机向量,随机序列)的能力,就随机向量这块就简单说明下.
联合分布
$$ F(x_1,\cdots,x_n)=P\lbrace X_1 \le x_1,\cdots, X_n\le x_n\rbrace $$
密度函数
$$ f(x_1,\cdots,x_n) $$
边缘分布
$$ F(x_1,x_3)=F(x_1,\infty,x_3,\infty) $$
随机变量的函数
由$f(x_1,\cdots,x_n)$及已知函数$g_i(x_1,\cdots,x_n)$来确定$k$个随机变量$Y_1,\cdots,Y_k$的联合密度:
- 若$k\gt n$,则未知密度是奇异的,在这种情况下,人们先计算$Y_1,\cdots,Y_k$的统计
- 若$k\lt n$,则利用辅助变量$Y_{k+1},\cdots,Y_n=X_n$把$Y$变量的数目增加到$n$,然后利用雅可比行列式进行求解
条件密度
$$ f(x_1,\cdots,x_k|x_{k+1},\cdots,x_n) $$ 其中$|$为条件线,并有如下基本法则:
- 欲消去若干左边变量,则对其积分
- 欲消去若干右边变量,则乘以它们关于余下的右边变量的条件密度再积分
独立随机变量
若随机变量$X_1,\cdots,X_n$独立,则有:分布和密度函数可分离,随机变量$g_i(X_i)$也独立,而且它们两两独立. 需要注意的是,如果两两独立,并不意味着它们是独立的.
平均值,方差,矩,特征函数
- 原文作者:mlyixi
- 原文链接:https://mlyixi.github.io/post/math/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA9-%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E5%8F%98%E9%87%8F%E5%BA%8F%E5%88%97-%E5%90%91%E9%87%8F/
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