在上面几节中我们讨论了概率论,定义了随机变量,同时了解了最常用的重复试验其实是定义了一个随机变量序列,并讨论了大数定理和中心极限定理的意义. 重复试验是如此的重要,我们能不能扩充一下随机变量,使它天然地具备这个性质,并且适用于更广的情况,比如实验结果是随时间改变的?

自然而然的,我们想到给随机变量加上一个自变量:时间

随机过程

一个实验$\mathfrak E$ 由实验结果$\zeta$ 所构成的概率空间$\Omega$,对于每一个结果和每一个时间点,我们按某种规律指定一实的或复的函数:$X(t,\zeta)$,它就是随机过程,代表了一族函数.

$X(t,\zeta_i)$

对于一个特定的结果$\zeta_i$,表达式$X(t,\zeta_i)$表示它纯粹是时间的函数

$X(t_i,\zeta)$

嗯,在某一时间点上,它就是一个随机变量

一般来说,在不需要区分的情况下,我们可以省略$\zeta$.

分类

  • 实随机过程
  • $n$维过程
  • 复过程

统计量

  • 一阶分布函数,密度函数
  • 二阶颁函数,密度函数
  • 期望
  • 自相关
  • 自协方差
  • 互相关
  • 互协方差

统计确定

如果随机过程的$n$阶分布函数为已知,则称它是统计确定的.

相关性

  • 不相关过程
  • 正交过程
  • 独立过程

常见随机过程

  • 泊松过程
  • 维纳-勒维过程(随机走动,布朗运动)
  • 正态过程