随机过程经常用于信号处理,所以一般都是从系统角度进行论述的.而一个随机过程的函数其实是不准确的,但是我们要比对随机变量,所以还是这样命名.

给定一个随机过程$X(t)$作为输入,经过系统,输出为随机过程$Y(t)$,记为: $$ Y(t)=T[X(t)] $$ 这里算子$T$可理解为一种复杂的函数.

确定性

如果$X(t,\zeta_1)=X(t,\zeta_2)\Rightarrow Y(t,\zeta_1)=Y(t,\zeta_2)$,则说算子$T$是确定性的,否则,它是随机的.

注意,一般我们只讨论确定性系统.

无记忆时间恒定系统

如果$Y(t)$与输入$X(t)$由$Y(t)=g[X(t)]$联系,其中$g(x)$仅是$x$的函数而不含$t$,则该系统是时间恒定的.

定理:

如果$X(t)$是狭义平稳(或k阶平稳)的,则$Y(t)$也是狭义平稳(或k阶平稳)的. 如果$X(t)$只是广义平稳的,那$Y(t)$在任何意义下不一定平稳

线性时间恒定系统(线性系统)

其算子$L$满足$L[a_1X_1(t)+a_2X_2(t)]=a_1L[X_1(t)]+a_2L[X_2(t)]$,则我们称$L$是一个线性变换,该系统是一个线性系统

定理:

期望: $$ \mathbb E \lbrace Y(t)\rbrace=L[\mathbb E \lbrace X(t) \rbrace ] $$ 自相关: $$ R_{XY}(t_1,t_2)=L_{t_2}[R_{XX}(t_1,t_2)]\ R_{YY}(t_1,t_2)=L_{t_1}[R_{XY}(t_1,t_2)] $$ 其中$L_{t_2}$指只对变量$t_2$/, lk,E施行运算. 平稳性: 若输入是广义平稳的,那么输出也是广义平稳的.